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CAPITULO VII

Capitulo 7

Extremos de funciones de dos variables

Karl Weierstrass

En este capítulo extenderemos las técnicas para encontrar los valores extremos de una función de una sola variable a funciones de dos variables. Por ejemplo, en el teorema 7.1 extenderemos el teorema del valor extremo para una función de una variable a una función de dos variables. Este teorema es difícil de demostrar tanto en una como en dos variables. Aunque el teorema había sido utilizado por matemáticos anteriores, la primera persona que proporcionó una demostración rigurosa fue el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Esta no fue la única ocasión en que Weierstrass obtuvo una justificación rigurosa de resultados matemáticos que eran de uso común, y a él debemos mucho en la documentación lógica sólida sobre la cual se construye el cálculo moderno.

Los valores f(a,b) y f(c,d) tales que para todo (x,y) en R se conoce como mínimo absoluto y máximo absoluto de f en la región R, como se muestra en la figura 7.1. Como en el cálculo de una variable, distinguimos entre extremos absolutos y extremos relativos. En la figura 7.2 se indican varios extremos realtivos.

figura 7.1

Extremos Absolutos

figura 7.2

Extremos Relativos

Extremos relativos y absolutos

Teorema 7.1

Sea f una función continua de dos variables x e y definida en una región acotada cerrada R del plano xy.

  1. Al menos hay un punto en R en el que f adquiere su valor mínimo.
  2. Al menos hay un punto en R en el que f adquiere su valor máximo.

Definición 7.1

Sea f una función definida en una región R conteniendo el punto (x0,y0)

  1. f(x0,y0) es un mínimo relativo de f si para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (x0,y0).
  2. f(x0,y0) es un máximo relativo de f si para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (x0,y0).

Decir que z0=f(x0,y0) es un máximo relativo de f significa que el punto (x0,y0,z0) es al menos tan alto como los puntos de su entorno en la gráfica de z=f(x,y). De forma similar, z0=f(x0,y0) es un mínimo relativo de f si (x0,y0,z0) está al menos tan bajo como los puntos de su entorno en la gráfica.

Para localizar extremos relativos de f, investigaremos los puntos en que su gradiente es cero o no está definido. Llamaremos a tales puntos puntos críticos de f.

Definición 7.2

Sea f definida en una región abierta R conteniendo (x0,y0). Decimos que (x0,y0) es un punto crítico de f si se verifica una de las siguientes afirmaciones:

Recordemos del teorema 5.3 que si f es diferenciable y

entonces toda derivada direccional en (x0,y0) ha de ser cero. Eso implica que la función tiene un plano tangente horizontal en el punto (x0,y0) como se ilustra en las figuras 7.3 y 7.4. Es evidente que ese punto es candidato a que haya en el un extremo relativo.

figura 7.3

Máximo relativo

figura 7.4

Mínimo relativo

Teorema 7.2

Si f(x0,y0) es un extremo realtivo de f en una región abierta R, entonces (x0,y0) es un punto crítico de f.

Ejemplo 7.1

Determinar los extremos relativos de

Solución

Comenzamos buscando los puntos críticos de f. Como

se hallan definidas para todo x e y, los únicos puntos críticos son aquellos en que se anulan ambas derivadas parciales primeras. Para localizar estos puntos, anulamos fx y fy, y resolvemos el sistema de ecuaciones

4x+8=0 y 2y-6=0

para obtener el punto crítico (-2,3). Completando cuadrados, podemos concluir que para todo (x,y) distinto de (-2,3),

Por lo tanto, hay un mínimo relativo de f en (-2,3). El valor del mínimo relativo es f(-2,3)=3, como se ve en la figura 7.5.

figura 7.5

El ejemplo 7.1 nos muestra un mínimo relativo para un tipo de punto crítico -aquel en que ambas derivadas parciales primeras son nulas-. En el ejemplo 7.2 nos fijamos en un máximo relativo que ocurre en el otro tipo de punto crítico -aquel para el que las derivadas parciales primeras no existen-.

Ejemplo 7.2

Determinar los extremos relativos de

Solución

Como

vemos que ambas derivadas parciales están definidas en todo el plano xy, excepto en (0,0). Además, este es el único punto crítico, ya que las derivadas parciales no pueden anularse simultáneamente salvo que x e y sean nulos. En la figura 7.6 vemos que f(0,0)=1. Para cualquier otro (x,y) está claro que

< 1

Luego, f(0,0) es un máximo relativo de f.

figura 7.6

fx y fy no están definidas en (0,0)

En este ejemplo, fx(x,y)=0 para todo punto del eje y, excepto (0,0). Sin embargo, como fy(x,y) no es nula, estos puntos no son puntos críticos. Recordemos que una de las derivadas parciales debe no estar definida o ambas deben anularse en caso de conducir a un punto crítico.

El teorema 7.2 nos dice que para encontrar los extremos relativos necesitamos solamente examinar valores de f(x,y) en puntos críticos. Sin embargo, al igual que se cumple para una función de una variable, los puntos críticos de una función de dos variables no siempre nos conduce a máximos o mínimos relativos. Algunos puntos críticos conducen a puntos de silla, que no son ni máximos ni mínimos relativos. Por ejemplo, el punto de silla que se muestra en la figura 7.7 no es un extremo relativo, ya que en un disco abierto centrado en el (0,0) la función toma ambos, valores negativos (sobre el eje x) y valores positivos (sobre el eje y).

figura 7.7

Punto de silla en (0,0,0): fx(0,0=fy(0,0)=0

Para las funciones de los ejemplos 7.1 y 7.2, es relativamente fácil determinar los extremos relativos, ya que cada función fue, o bien dada o susceptible de escribirse en forma de cuadrados perfectos. Para funciones más complicadas, los argumentos algebraicos no son tan útiles, y dependemos de los medios más analíticos que se introducen en el siguiente criterio de las derivadas parciales segundas. Este es el criterio que en dos variables corresponde al criterio de la segunda derivada para funciones de una variable.

Criterio de las segundas derivadas parciales

Teorema 7.3

Sea una función f con derivadas parciales primeras y segundas continuas en una región abierta que contiene un punto (a,b) para el que fx(a,b)=0 y fy(a,b)=0. Para determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de f, definimos la cantidad

  1. Si d > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) en un mínimo relativo.
  2. Si d > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) en un máximo relativo.
  3. Si d < 0, entonces (a,b,f(a,b)) es un punto de silla.
  4. Este criterio no da información si d=0.

Si d > 0, entonces fxx(a,b) y fyy(a,b) deben tener el mismo signo. Esto significa que se puede reemplazar fxx(a,b) por fyy(a,b) en las dos primeras partes del criterio.

Una técnica apropiada para recordar la fórmula de d en el criterio anterior viene dada por el determinante

siendo fxy(a,b)=fyx(a,b) por el teorema 3.1.

Ejemplo 7.3

Encontrar los extremos relativos de

Solución

Comenzamos buscando los puntos críticos de f. Puesto que

están definidas para todo x e y, los únicos puntos críticos son aquellos para los cuales ambas derivadas parciales primeras son nulas. Para localizar estos puntos, hacemos fx(x,y) y fy(x,y) cero y obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

De la segunda ecuación vemos que x=y, y sustituyendo en la primera obtenemos dos soluciones: y=x=0 e y=x=4/3. Como

fxx(x,y) = -6x, fyy(x,y) = -4 y fxy(a,b) = 4

se sigue que para el punto crítico (0,0),

y, por el criterio de las derivadas parciales segundas, concluimos que (0,0,1) es un punto de silla de f. Para el punto crítico (4/3,4/3),

y como

concluimos que f(4/3,4/3) es un máximo relativo, como se muestra en la figura 7.8.

figura 7.8

El criterio de las derivadas parciales segundas puede fallar, a la hora de buscar los extremos realtivos, de dos formas. Si una de las derivadas parciales primeras no está definida, entonces no podemos usar el criterio. También si d = 0 el criterio no es útil. En tales casos, debemos confiar en una gráfica o en algún otro tipo de tratamiento, como se ve en el ejemplo 7.4.

Ejemplo 7.4

Hallar los extremos realtivos de

Solución

Como

vemos que ambas derivadas parciales son nulas si x = 0 o y = 0. Es decir, todo punto de el eje x o del eje y es un punto crítico. Como

vemos que si x = 0 o y = 0, entonces

Luego el criterio de las derivadas parciales segundas no decide. Sin embargo, como f(x,y)=0 para todo punto del eje x o del eje y, y puesto que >0 para los demás puntos, podemos concluir que cada un de estos puntos críticos conduce a un mínimo absoluto, como se muestra en la figura 7.9.

figura 7.9

Los extremos absolutos se una función pueden producirse de dos formas. Primero, algunos extremos relativos también son extremos absolutos. Así en el ejemplo 7.1, f(-2,3) es un mínimo absoluto de la función. Por otra parte, el máximo relativo encontrado en el ejemplo 7.3 no es un máximo absoluto de la función. Segundo, pueden existir extremos absolutos en un punto del borde del dominio como se verá en el ejemplo 7.5

Ejemplo 7.5

Encontrar los extremos absolutos de la función f(x,y)=sen(xy) en la región cerrada dada por

Solución

De las derivadas parciales

fx(x,y) = y cos(xy) , fy(x,y) =x cos(xy)

vemos, que cada punto de la hipérbola es un punto crítico. Además, en cada uno de estos puntos f toma el valor uno, que sabemos que es el máximo absoluto, como se ve en la figura 7.10. El otro punto crítico de f situado en la región dada es (0,0). Conduce a un mínimo absoluto de 0, ya que

figura 7.10

Para buscar otros extremos absolutos, consideremos las cuatro fronteras de la región formada al proyectar según los planos verticales . Una vez hecho eso, vemos que sen(xy)=0 en todos los puntos del eje x. del eje y, así como el punto . Cada uno de estos puntos proporciona un mínimo absoluto de la superficie de la figura 7.10.

Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables

Hay muchas aplicaciones de los extremos de funciones de dos (o más) variables. A continuación estudiaremos algunas de ellas.

Ejemplo 7.6

Una caja rectangular descansa sobre el plano xy con un vértice en el origen. Encontrar el volumen máximo de la caja si su vértice opuesto al origen pertenece al plano 6x+4y+3z=24, como se indica en la figura 7.11.

Solución

Puesto que un vértice de la caja pertenece al plano 6x+4y+3z=24, tenemos que z=(1/3)(24-6x-4y) y podemos escribir el volumen, xyz, de la caja como función de dos variables:

Haciendo iguales a cero las dos derivadas parciales primeras,

obtenemos los puntos críticos (0,0) y (4/3,2). En (0,0) el volumen es cero, por lo que aplicamos el criterio de las derivadas parciales segundas al punto (4/3,2)

Como

y

deducimos por el criterio de las derivadas parciales segundas que el volumen máximo es

unidades cúbicas.

Observar que el volumen es nulo en los puntos del borde del dominio triangular de V.

figura 7.11

En muchos problemas sobre aplicaciones, el dominio de la función a optimizar es una región acotada cerrada. Para encontrar puntos de máximo o mínimo, se debe, además de buscar los puntos críticos, considerar el valor de la función en los puntos de la frontera.

Ejemplo 7.7

El beneficio que se obtiene produciendo x unidades del modelo A e y unidades del modelo B se aproxima mediante el modelo

Solución

Tenemos

Igualando estas derivadas parciales a cero, obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

Resolviendo, obtenemos x=2000, y=4000. Las derivadas parciales segundas de P son

Además, como Pxx < 0 y

concluimos que el nivel de producción de x=2000 unidades e y=4000 unidades conduce a un beneficio máximo.

En este último ejemplo hemos supuesto que la factoría es capaz de producir el número requerido de unidades para llegar a un beneficio máximo. En la práctica real, la producción se encuentra limitada por restricciones físicas.

Ejercicios

Ejercicio 7.1

Identificar los extremos de la función reconociendo la forma dada o la que resulta tras completar el cuadrado. Verificar los resultados obtenidos utilizando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y comprobar si son extremos realativos.

Ejercicio 7.2

Encontrar los extremos relativos y los puntos de silla de cada función

Ejercicio 7.3

Usar el Winplot para graficar la superficie y localizar los extremos relativos y los puntos de silla.

Ejercicio 7.4

Hallar los extremos absolutos de la función en la región R. (En todos los casos, la región R incluye su frontera).

1)

R: La región triangular del plano xy con vértices (2,0), (0,1) y (1,2)

2)

R: La región triangular del plano xy con vértices (2,0), (0,1) y (1,2)

3) La región del plano xy acotada por las gráficas de

4)

R: La región del plano xy acotada por las gráficas de

5)

6)

7)

8)

Ejercicio 7.5

Hallar los puntos críticos y comprobar si hay en ellos extremos relativos. Indicar los puntos críticos en los que no se aplica el criterio el criterio de las segundas derivadas parciales.

Evaluación

1) Calcular la distancia mínima del punto al plano de ecuación 2x+3y+z=12

a) (0, 0, 0)

b) (1, 2, 3)

2) Calcular la distancia mínima del punto dado al paraboloide

a) (5, 5, 0)

b) (5, 0, 0)

3) En los siguientes ejercicios, hallar tres números x, y, z que satisfagan las condiciones impuestas.

a) La suma es 30 y el producto es máximo.

b) La suma es 32 y es máximo

c) La suma es 30 y la suma de los cuadrados es mínima.

d) La suma es 1 y la suma de los cuadrados es mínima.

4) La suma de la longitud y el perímetro de una sección de los paquetes enviados por correo no pueden exceder de 216 cm. Encontrar las dimensiones del paquete rectangular de mayor volumen admitido por correo.

5) El material empleado en la base de una caja abierta cuesta 1.5 veces lo que cuesta el de los laterales. Fijada una cantidad de dinero C, hallar las dimensiones de la caja de máximo volumen que puede construirse.

6) Demostrar que la caja rectangular de volumen máximo inscrita en una esfera de radio r es un cubo.

7) Demostrar que la caja rectangular de volumen prefijado y superficie mínima es un cubo.

8) Un comedero con secciones en forma de trapecios se construye plegando las aristas de una plancha de aluminio de 10 cm de ancho. Encontrar la sección de área máxima.

9) Repetir el ejercicio 8) con una plancha de w cm de ancho.

10) Una empresa fabrica dos productos. Los ingresos totales que origina la venta de x unidades del primero y de y unidades del segundo son

Hallar x e y de manera que los ingresos sean máximos.

11) Un minorista vende dos productos, que se hacen mutua competencia, a precios p1, p2, hallar p1 y p2 de manera que los ingresos, dados por

sean máximos.

12) Repetir el ejercicio 4) si la suma de los dos perímetros de las secciones que indica la figura 7.12 no puede pasar de 216 cm.

figura 7.13

13)