Capitulo 6

Ecuaciones de Superficie

Hasta ahora hemos representado las superficies en el espacio básicamente por medio de ecuaciones de la forma

z=f(x,y) Ecuación de una superficie S

En el desarrollo que seguirá, sin embargo, conviene utilizar la representación más general F(x,y,z)=0. Para una superficie S dada por z=f(x,y), es fácil pasar a esa forma general sin más que definir F como

F(x,y,z)=f(x,y)-z

De ese modo, como z=f(x,y), se tiene que f(x,y)-z=0, lo cual significa que podemos considerar S como la superficie de nivel de F dad por

F(x,y,z)=0 Ecuación alternativa para la superficie S

Por ejemplo, para la superficie dada por

tomamos

Así entonces, la superficie puede escribirse como F(x,y,z)=0.

Plano tangente y recta normal a una superficie

Hemos visto muchos ejemplos de la utilidad de las rectas normales en aplicaciones con curvas. Las rectas normales son igualmente importantes en el análisis de superficies y sólidos. Por ejemplo, consideremos la colisión de dos bolas de billar. Cuando se le da el golpe a una bola detenida, en un punto P de su superficie, esta se mueve en la recta de impacto determinada por P y el centro de la bola. El impacto puede suceder de dos maneras. Si la bola lanzada se mueve en la recta de impacto, esta se para en seco y cede todo su momento a la bola detenida, como se muestra en la figura 6.1. Este tipo de disparo requiere precisión, ya que la recta de impacto debe coincidir exactamente con la dirección de la bola lanzada. Frecuentemente, la bola lanzada se desvía a un lado u otro, reteniendo parte de su momento. La parte de momento que se trasmite a la bola detenida siempre se orienta sobre la línea de impacto, con independencia de la dirección de la bola lanzada, como se indica en la figura 6.2. Llamamos a esta recta de impacto, recta normal a la superficie de la bola en el punto P.

figura 6.1

figura 6.2

En el proceso de encontrar una recta normal a una superficie, se nos da la posibilidad de resolver el problema de encontrar un plano tangente a la superficie. Sea S una superficie dada por F(x,y,z)=0, y sea P(x0,y0,z0) un punto sobre S. Sea C una curva en S que pasa por el punto P y que se define mediante la función vectorial

Entonces, para todo t,

Si F es diferenciable y existen x'(t),y'(t) y z'(t), por la regla de la cadena resulta que

En (x0,y0,z0) la forma vectorial equivalente es

=(gradiente).(vector tangente)

Este resultado significa que el gradiente en P es ortogonal al vector tangente a cualquier curva sobre S que pase por P. Por lo tanto, todas las rectas tangentes en P están en un plano que es normal a y contiene a P, como se ve en la figura 6.3. Llamamos a este plano, plano tangente a S en P, y a la recta que pasa por P en la dirección de recta normal a S en P.

figura 6.3

Plano tangente a la superficie S en P

Definición 6.1

Sea F diferenciable en el punto P(x0,y0,z0) de la superficie S dada por F(x,y,z)=0, con . 1) El plano que pasa por P y es normal a se conoce como el plano tangente a S en P. 2) La recta que pasa por P y tiene la dirección de se conoce como la recta normal a S en P.

Para hallar la ecuación del plano tangente a S en (x0,y0,z0), hacemos que (x,y,z) sea un punto arbitrario del plano tangente. Entonces el vector

u=(x-x0) i+(y-y0) j+(z-z0) k

pertenece al plano tangente. Como es normal al plano en (x0,y0,z0), debe ser ortogonal a cada vector del plano tangente y tenemos

. u = 0

lo cual nos conduce al resultado del siguiente teorema.

Teorema 6.1

Si F es diferenciable en (x0,y0,z0), una ecuación del plano tangente a la superficie dada por F(x,y,z)=0 en P(x0,y0,z0) es

Ejemplo 6.1

Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide

en el punto (1,-1,4)

Solución

Considerando tenemos

y en el punto (1,-1,4) las derivadas parciales son

Luego una ecuación del plano tangente en (1,-1,4) es

La figura 6.4 muestra una parte del hiperboloide y del plano tangente.

figura 6.4

Plano tangente a la superficie

Para encontrar la ecuación del plano tangente en un punto a una superficie dada por z=f(x,y), definimos la función F mediante

F(x,y,z)=f(x,y)-z

Entonces S viene dada por la superficie de nivel F(x,y,z)=0, y por el teorema 6.1 una ecuación del plano tangente a S en el punto (x0,y0,z0) es

Ecuación del plano tangente

Se ilustra esta forma del plano tangente en el ejemplo 6.2

Ejemplo 6.2

Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide

en el punto (2,-2,2)

Solución

De obtenemos

Por lo tanto, una ecuación del plano tangente en (2,-2,2) es

Se muestra este plano en la figura 6.5.

figura 6.5

Plano tangente a la superficie

El gradiente proporciona un método conveniente para encontrar ecuaciones de rectas normales, como se ilustra en el ejemplo 6.3.

Ejemplo 6.3

Hallar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie xyz=12 en el punto (2,-2,-3)

Solución

Sea F(x,y,z)=xyz-12

Entonces, el gradiente viene dado por

y el punto (2,-2,-3), tenemos

Por lo tanto, la recta normal en (2,-2,-3) tiene por números de dirección a 6, -6 y -4. El conjunto de ecuaciones simétricas correspondiente es

El hecho de que el gradiente es normal a la superficie dada por F(x,y,z)=0 nos permite resolver una gran variedad de problemas que tratan de superficies y de curvas en el plano. Mostraremos un problema típico en el ejemplo 6.4

Ejemplo 6.4

Encontrar las ecuaciones simétricas de la tangente a la curva intersección del elipsoide

y el hiperboloide

en el punto (3,-2,1), que se muestra en la figura 6.6.

figura 6.6

Recta tangente

Solución

Para encontrar la ecuación de la recta tangente, calculamos antes los gradientes de las dos superficies en el punto (3,-2,1). El producto vectorial de esos dos gradientes será un vector tangente a ambas superficies en el punto (3,-2,1). Para el elipsoide, hacemos

y obtenemos

Para el paraboloide hacemos y obtenemos

El producto vectorial de estos dos vectores es

Por lo tanto, los números 10, 6 y 9 dan la dirección de la recta tangente buscada. La ecuación simétrica de la recta tangente en (3,-2,1) resulta ser

Ángulo de inclinación de un plano

Otra aplicación del gradiente consiste en determinar el ángulo de inclinación del plano tangente a una superficie. El ángulo de inclinación de un plano se define como el ángulo , entre el plano en cuestión y el plano xy, como muestra la figura 6.7. (El ángulo de inclinación de un plano horizontal se define como cero). Como k es normal al plano xy, podemos usar la fórmula que da el coseno del ángulo eentre dos planos para concluir que el ángulo de inclinación de un plano con vector normal N viene dado por

Ejemplo 6.5

Encontrar el ángulo de inclinación del plano tangente al elipsoide

en el punto (2,2,1)

Solución

Si denotamos

entonces el gradiente de F en el punto (2,2,1) viene dado por

Ahora bien, al ser normal al plano tangente y k normal al plano xy, se sigue que el ángulo de inclinación del plano tangente viene dado por

lo cual implica que .

Interesa fijarse en un caso especial del procedimiento utilizado en el ejemplo 6.5. El ángulo de inclinación del plano tangente a la superficie z=f(x,y) en (x0,y0,z0) viene dado por

Fórmula alternativa para el ángulo de inclinación

Ejercicios

Ejercicio 6.1

Encontrar un vector normal unitario a la superficie dada en el punto indicado.

Ejercicio 6.2

Encontrar una ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado.

Ejercicio 6.3

Encontrar una ecuación del plano tangente y ecuaciones simétricas de la recta normal a la superficie dada en el punto indicado.

Ejercicio 6.4

Encontrar el ángulo de inclinación del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado.

Ejercicio 6.5

En los ejercicios 1) al 6)

a) Encontrar ecuaciones simétricas para la tangente a la curva intersección de las superficies dadas en el punto indicado.

b) Hallar el coseno del ángulo formado entre los vectores gradiente en dicho punto. Y averiguar si las superficies son ortogonales en el punto de intersección.

Evaluación

1) En los ejercicios a) y b) encontrar el punto de la superficie donde el plano tangente es horizontal.

2) En los ejercicios a) y b) hallar la trayectoria de una partícula restreadora de calor en el campo de temperatura T, que parte del punto especificado.

3) Demostrar que el plano tangente al cono pasa por el origen.

4) Demostrar que cualquier recta normal a una esfera pasa por su centro.

5) Demostrar que el coseno del ángulo de inclinación del plano tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto (a, b, c) viene dado por