Capitulo 5

Derivadas direccionales y gradiente

Supongamos que estamos en la ladera de la colina dibujada en la figura 5.1 y quisieramos determinar la inclinación de la colina en la dirección al eje z. Si la colina estuviese representada por z=f(x,y), entonces ya sabríamos cómo determinar la pendiente en dos direcciones diferentes -la pendiente en la dirección y vendría dada por la derivada parcial fy(x,y) y la pendiente en la dirección x vendría dada por la derivada parcial fx(x,y)-. En este capítulo vamos a ver que se pueden usar estas dos derivadas parciales para encontrar la pendiente en una dirección arbitaria.

figura 5.1

Para determinar la pendiente en un punto de una superficie, definimos un nuevo tipo de derivada llamada derivada direccional. Comenzamos haciendo que z=f(x,y) sea una superficie y P(x0,y0) un punto del dominio de f, como se muestra en la figura 5.2. Especificamos una dirección mediante un vector unitario , donde q es el ángulo que forma el vector con el eje x positivo. Ahora, para hallar la pendiente deseada, reducimos el problema a dos dimensiones mediante la intersección de la superficie con un plano vertical que pasa por el punto P y es paralelo al vector u, como se ve en la figura 5.3. Este plano vertical corta a la superficie para formar una curva C, y definimos la pendiente de la superficie en (x0,y0,f(x0,y0)) como la pendiente de la curva C en ese punto.

Podemos escribir la pendiente de la curva C como un límite muy parecido a aquellos que se usan en el cálculo de una variable. El plano vertical empleado para formar C corta al plano xy en una recta L que se representa por las ecuaciones paramétricas

Luego para cualquier valor de t, el punto Q(x,y) pertenece a la recta L. Para cada uno de los puntos P y Q, existe el punto correspondiente sobre la superficie

(x0,y0,f(x0,y0)) Punto sobre P

(x,y,f(x,y)) Punto sobre Q

Además, puesto que la distancia entre P y Q es

podemos escribir la pendiente de la recta secante que pasa por (x0,y0,f(x0,y0)) y (x,y,f(x,y)) como

Finalmente, haciendo que t tienda a cero, llegamos a la definición 5.1

Derivada direccional

Definición 5.1

Sea f una función de dos variables x e y, y sea un vector unitario. Entonces la derivada direccional de f en la dirección de u se denota por Duf, y es

El cálculo de la derivada direccional mediante esta definición es comparable al de encontrar la derivada de una función de una variable. Una fórmula de trabajo más simple para obtener derivadas direccionales recurre a las derivadas parciales fx y fy.

Teorema 5.1

Si f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario  es

Observar que hay infinitas derivadas direccionales en un punto dado de una superficie -una para cada una de las direcciones especificadas por el vector u, como se muestra en la figura 5.4-. Dos de ellas resultan ser las derivadas parciales fx y fy.

figura 5.4

El vector u especifica una dirección en el plano xy

1) En la dirección positiva del eje x (q=0):

2) En la dirección positiva del eje y (=):

Ejemplo 5.1

Calcular la derivada direccional de en (1,2) en la dirección de

Solución

Evaluando en , x=1 e y=2, tenemos

Ejemplo 5.2

Calcular la derivada direccional de en (1,) en la dirección de v=3i-4j

Solución

Comenzamos obteniendo un vector unitario en la dirección de v:

Usando este vector unitario, tenemos

Gradiente

La derivada direccional Duf(x,y) puede expresarse como el producto escalar del vector unitario

y el vector

Este vector es importante y tiene usos diversos. Lo llamamos vector gradiente de f.

Definición 5.2

Si z=f(x,y), entonces el gradiente de f, que se denota mediante , es el vector Otra notación para el gradiente es grad f(x,y)

Puesto que el gradiente de f es un vector, podemos escribir la derivada direccional de f en la dirección de u como

En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector dirección. Este importante resultado constituye el contenido del siguiente teorema.

Teorema 5.2

Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es

Ejemplo 5.3

Calcular la derivada direccional de en (-1,3) en la dirección que va desde P(-1,3) a Q(1,-2)

Solución

Un vector en la dirección especificada es

y un vector unitario en esta dirección es

Como , el gradiente (-1,3) es

En consecuencia, en (-1,3) la derivada direccional es

Ya hemos visto que hay muchas derivadas direccionales en el punto (x,y) de una superficie. En muchas aplicaciones nos gustaría conocer en qué dirección movernos para que f(x,y) crezca lo más rápidamente posible. Llamamos a esta dirección de máxima pendiente, y viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema 5.3.

Aplicaciones del gradiente

Teorema 5.3

Si f es una función diferenciable en el punto (x,y) 1) Si , entonces para todo u. 2) La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por . El valor máximo de es . 3) La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por -. El valor mínimo de es -.

Para visualizar una de las propiedades del gradiente, consideremos un esquiador descendiendo una de las laderas de una montaña. Si f(x,y) denota la altitud del esquiador, entonces - indica la dirección que el esquiador debe adoptar para deslizarse por la trayectoria de máxima pendiente (Recordemos que el gradiente indica dirección en el plano xy y por si mismo no señala hacia arriba o hacia abajo en la ladera de la montaña).

Como ilustración alternativa del gradiente consideremos la temperatura T(x,y) en un punto (x,y) cualqueira de una placa metálica plana. En este caso, grad T da la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en el punto (x,y), como se señala en el ejemplo 5.4.

Ejemplo 5.4

La temperatura, en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por

midiendo x e y en centímetros. Desde el punto (2,-3), ¿en qué dirección crece la temperatura más rápidamente?. ¿A qué ritmo se produce este crecimiento?

Solución

El gradiente es

Se sigue que la dirección de más rápido crecimiento viene dada por

como se muestra en la figura 5.5, y que la razón de crecimiento es

por centímetro

Curvas de nivel

figura 5.5

Dirección de más rápido crecimiento en (2,-3)

La solución que se presenta en el ejemplo 5.4 puede resultar engañosa. A pesar de que el gradiente apunta en la dirección de crecimiento más rápido de la temperatura, no necesariamente apunta hacia el lugar más caliente de la placa. En otras palabras, el gradiente proporciona una solución local al problema de encontrar un crecimiento relativo a la temperatura en el punto (2, -3). Una vez que abandonamos esa posición, la dirección de más rápido crecimiento puede cambiar.

Ejemplo 5.5

Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto (2,-3) de una placa metálica cuya temperatura en (x,y) es . Encontrar la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más rápido crecimiento de la temperatura.

Solución

Representaremos la trayectoria por la función posición

Un vector tangente en cada punto (x(t),y(t)) viene dado por

Puesto que la partícula busca el crecimiento más rápido de temperatura, la dirección de

son las mismas en cada punto de la trayectoria. Luego

Estas ecuaciones diferenciales representan un crecimiento exponencial y las soluciones son

Como la partícula parte de (2,-3) se sigue que 2=x(0)=C1 y -3=y(0)=C2. Luego la trayectoria se representa mediante

Eliminando el parámetro t, obtenemos

Mostramos esta trayectoria en la figura 5.6.

figura 5.6

Camino seguido por una partícula que va hacia el calor

En la figura 5.6, la trayectoria de la partícula (determinada por el gradiente en cada punto) aparece como ortogonal a cada una de las curvas de nivel. Esto se clarifica cuando consideramos el hecho de que la temperatura T(x,y) es constante sobre una curva, de nivel dada. Luego en un punto arbitario (x,y) de la curva, la razón de cambio de T en la dirección de un vector tangente unitario u es 0, y podemos escribir

u es un vector tangente unitario. Puesto que el producto escalar de y u es cero, deben ser ortogonales. Este resultado se anuncia en el siguiente teorema:

Teorema 5.4

Si f es diferenciable en (x0,y0) y , entonces es normal a la curva de nivel que pasa por (x0,y0).

Ejemplo 5.6

Dibujar la curva de nivel correspondiente a c=0 para la función y encontrar vectores normales en diferentes puntos de la curva.

Solución

La curva de nivel para c=0 viene dada por

como se indica en la figura 5.7. Como el vector gradiente de f en (x,y) es

figura 5.7

El gradiente es normal a la curva de nivel

podemos utilizar el teorema 5.4 para concluir que es normal a la curva de nivel en el punto (x,y). Algunos vectores gradientes son

Ejercicios

Ejercicio 5.1

Encontrar la derivada direccional de la función en el punto P en la dirección de v.

Ejercicio 5.2

Encontrar la derivada direccional de la función en la dirección

Ejercicio 5.3

Encontrar la derivada direccional de la función en el punto P en la dirección de Q.

Ejercicio 5.4

Calcular el gradiente de la función y el valor máximo de la derivada direccional en el punto indicado.

Ejercicio 5.5

En los ejercicios 1)-6) utilice la función

para:

1) Dibujar la gráfica de f en el primer octante y señalar el punto (3,2,1)

2) Hallar Duf(3,2) donde y

a)

b)

3) Hallar Duf(3,2) donde u=v/||v|| y

a) v = i + j

b) v = -3i - 4j

c) v es el vector desde (1,2) a (-2,6)

d) v es el vector desde (3,2) a (4,5)

4) Encontrar el gradf

5) Hallar el valor máximo de la derivada direccional en (3,2).

6) Hallar un vector unitario u ortogonal al gradf(3,2) y calcular Duf(3,2).

Ejercicio 5.6

En los ejercicios 1)-4) utilice la función

para:

1) Dibujar la gráfica de f en el primer octante y señalar el punto (1,2,4) sobre la superficie.

2) Hallar Duf(1,2) donde y

3) Hallar gradf(1,2) y ||gradf(1,2)||

4) Encontrar un vector unitario u ortogonal a gradf(1,2), y calcular Duf(1,2).

Evaluación

1) La temperatura en el punto (x,y) de una placa metálica viene dado por

Encontrar la dirección de mayor crecimiento del calor desde el punto (3,4).

2) Se describe la superficie de una montaña mediante la ecuación

Supongamos que un alpinista está en el punto (500,300,3390). ¿En qué dirección debe moverse el alpinista para ascender lo más rápido posible?

3) En los ejercicios a) y b), encuentre la trayectoria seguida por una partícula rastreadora de calor situada en un punto P sobre una placa metálica que tiene un campo de temperatura dado por T(x,y).

4) Utilizar el gradiente para encontrar un vector normal a la gráfica de la ecuación en el punto indicado. Dibuje los resultados.