Diferenciales

En este capítulo generalizamos los conceptos de incrementos y diferenciales a funciones de dos o más variables. Para una función de dos variables, dada por z=f(x,y), usamos una terminología similar a las de las funciones de una variable. Llamamos y a los incrementos de x y de y, y el incremento de z viene dado por

Las diferenciales dx, dy y dz se definen como sigue.

Definición 4.1

Si z=f(x,y) y ,son incrementos de x y de y, entonces las diferenciales de las variables independientes x e y son dx= y dy= y la diferencial total de la variable dependientee z es

Ejemplo 4.1

La diferencial total dz para la función es

En el cálculo de una variable se tiene que para una función diferenciable dada por y=f(x), podemos usar la diferencial dy=f´(x) dx como una aproximación (para pequeños) al valor . Cuando es posible una aproximación similar para una función de dos variables, decimos que es diferenciable. A continuación se anuncia esto explícitamente en la definición 4.2.

Diferenciabilidad

Definición 4.2

Una función f dada por z=f(x,y) es diferenciable en (x,y) si puede expresarse en la forma donde ambos cuando . Se dice que la función f es diferenciable en la región R si es diferenciable en todo punto de R.

Ejemplo 4.2

Probar que la función es diferenciable en todos los puntos del plano.

Solución

Haciendo z=f(x,y), el incremento de z en un punto arbitrario (x,y) del plano es

donde . Como cuando , entonces f es diferenciable en todo punto del plano.

Observar que el término diferenciable se usa de forma distinta al aplicarlo a funciones de dos variables y a funciones de una variable. Una función de una variable es diferenciable en un punto si su derivada en ese punto existe. Sin embargo, para una función de dos variables la existencia de las derivadas parciales fx y fy no garantiza que la función sea diferenciable. (ver Ejemplo 4.5). En el teorema siguiente, presentamos una condición suficiente para la diferenciabilidad de una función de dos variables.

Aproximación por diferenciales

Teorema 4.1

Si f es una función de x e y, con f, fx y fy continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R.

Este teorema nos dice que podemos elegir (x+,y+) suficientemente próximos a (x,y) para hacer insignificantes. En otras palabras, para y pequeños podemos usar la aproximación

Recordemos que las derivadas parciales pueden interpretarse como las pendientes de la superficie en las direcciones x e y, respectivameente. Esto significa que

representa la variación en altura de un plano tangente a la superficie en el punto (x,y,f(x,y)). Puesto que un plano del espacio se representa por una ecuación lineal en las variables x, y ,z, llamamos a esta aproximación de por dz aproximación lineal.

Ejemplo 4.3

Usar la diferencial dz para aproximar la variación en cuando (x,y) va desde el punto (1,1) a (1.01,0.97). Comparar esta aproximación con la variación exacta de z.

Solución

Haciendo (x,y)=(1,1) y (x+,y+)=(1.01,0.97) tenemos que

dx==0.01 y dy==-0.03

luego la variación en z puede aproximarse por

En x=1 e y=1, resulta

Ahora calculamos la variación exacta (observe que la diferencia es mínima)

Esta teoría se extiende la funciones de tres variables como se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.4

El posible error involucrado al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es de 0.1 milímetros. Las dimensiones de la caja son x=50 centímetros, y=20 centímetros y z=15 centímetros. Utilizar dV para estimar el error propagado y el error realativo en el volumen calculado de la caja.

Solución

El volumen de la caja viene dado por V=xyz, luego

Como 0.1 milímetros es igual a 0.01 centímetros, tenemos que dx=dy=dz= 0.01 y el error propagado es

Puesto que el volumen es V=(50)(20)(15)=15000 centímetros cúbicos, el error relativo es

Al igual que ocurre con las funciones de una variable, si una función de dos variables es diferenciable en algún punto de su dominio, entonces tanbién es continua en dicho punto. Este es el contenido del siguiente teorema:

Teorema 4.2

Si una función de x e y es diferenciable en (x0,y0), entonces es continua en (x0,y0).

Ya hemos señalado que la existencia de las derivadas parciales primeras no es suficiente para garantizar la diferenciabilidad. En el ejemplo siguiente usamos el teorema 4.2 para mostrar su validez.

Ejemplo 4.5

Mostrar que existen ambas fx(0,0) y fy(0,0), pero que f no es diferenciable en (0,0), estando f definida como

Solución

Por el teorema 4.2 podemos ver que f no es diferenciable en (0,0) si no es continua en dicho punto. Para ver que f no es continua en (0,0), nos fijamos en los valores de (x,y) cerca de (0,0), pero según dos direcciones diferentes, como se indica en la figura 4.1. Por la recta y=x, el límite es

mientras que pot y=-x tenemos que

figura 4.1

Luego el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (0,0) no exisite, y concluimos que f no es continua en (0,0). Por tanto, por el teorema 4.2 sabemos que f no es diferenciable en (0,0). Por otro lado, por la definición de las derivadas parciales fx y fy tenemos

luego las derivadas parciales en (0,0) existen.

Regla de la Cadena

El trabajo con diferenciales nos proporciona la base para la extensión de la regla de la cadena a funciones de dos variables. en esta extensión, consideramos dos casos. En el primero interviene w como función de x e y, donde x e y son funciones de una única variable independiente t.

Teorema 4.3

Sea w=f(x,y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x=g(t) e y=h(t), siendo g y h funciones de t, entonces w es una función derivable de t, y

Ejemplo 4.6

Sean , donde . Encontrar dw/dt cuando t=0.

Solución

Por la regla de la cadena para una variable independiente tenemos

Cuando t=0, x=0 e y=1, entonces dw/dt=0-2=-2.

La regla de la cadena presentada en esta sección nos proporciona técnicas alternativas de solución para muchos problemas del cálculo con una sola variable. Así en el ejemplo 4.6, podríamos haber utilizado técnicas de una sola variable para hallar dw/dt escribiendo en primer lugar w como función de t,

y a continuación derivando en forma usual.

La regla de la cadena en el teorema 4.3 puede extenderse a un número cualquiera de variables. Por ejemplo, si cada xi es función derivable de una sola variable t, entonces para w=f(x1,x2, ..., xn) tenemos

Otro tipo de función compuesta es aquel en que las variables intermedias son ellas mismas funciones de más de una variable. Por ejemplo, si

w=f(x,y)

donde

x=g(s,t) e y=h(s,t)

entonces se sigue que w es función de s y de t, y podemos considerar las derivadas parciales de w con respecto a s y a t. Una forma de encontrar estas derivadas parciales consiste en escribir w como función de s y de t explícitamente mediante la sustitución de las ecuaciones x=g(s,t) e y=h(s,t) en la ecuación w=f(x,y). Entonces, es posible hallar las derivadas parciales en la forma usual, como se muestra en el ejemplo siguiente

Ejemplo 4.7

Hallar para w=2xy, donde

Solución

Comenzamos sustituyendo en la ecuación w=2xy para obtener

Entonces, para encontrar mantenemos t constante y derivamos con respecto a s:

De forma similar, para hallar mantenemos s constante y derivamos con respecto a t para obtener

El teorema 4.4 nos proporciona un método alternativo para encontrar las derivadas parciales del ejemplo 4.7, sin tener que escribir explícitamente w como función de s y t.

Teorema 4.4

Sea w=f(x,y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x=g(s,t) e y=h(s,t), de forma tal que las derivadas parciales primeras existen todas, entonces existen y vienen dadas por

Las cadenas mencionadas en los teoremas 4.3 y 4.4 pueden representarse en forma de diagrama, como muestran las figuras 4.2 y 4.3 respectivamente.

figura 4.2

figura 4.3

Ahora podemos usar la regla de la cadena enuncuada en el teorema 4.4 para encontrar las mismas derivadas parciales calculadas en el ejemplo 4.7

Ejemplo 4.8

Usar la regla de la cadena para encontrar para w=2xy, donde .

Solución

Si fijamos t, entonces por el teorema 4.4,

En forma similar, fijando s obtenemos

La regla de la cadena del teorema 4.4 puede extenderse a un número cualquiera de variables. Por ejemplo, si w es una función diferenciable de n variables x1,x2, ..., xn, donde cada xi es una función diferenciable de m variables t1,t2, ..., tm , entonces w=f(x1,x2, ..., xn) tenemos

Derivación parcial implícita

Finalizamos esta unidad con una aplicación de la regla de la cadena para determinar la derivada de una función definida implícitamente. Supongamos que x e y están relacionadas mediante la ecuación F(x,y)=0, donde se supone que y=f(x) es una función derivable de x. Para hallar dy/dy consideramos la función

w=F(x,y)=F(x,f(x))

entonces podemos aplicar el teorema 4.3 para obtener

Como w=F(x,y)=0 para todo x en el dominio de f, sabemos que dw/dx=0 y tenemos

Y si Fy(x,y) es distinto de cero, podemos concluir que

Un procedimiento similar puede usarse para encontrar las derivadas parciales de funciones de varias variables que se encuentran definidas implícitamente.

Teorema 4.5

a) Si la ecuación F(x,y)=0 define a y implícitamente como función de x, entonces b) Si la ecuación F(x,y,z)=0 define a z implícitamente como función de x e y, entonces

Este teorema puede extenderse a funciones diferenciables definidas implícitamente con un número cualquiera de variables.

Ejemplo 4.9

Calcular dy/dx, sabiendo que .

Solución

Definimos una función F mediante

Usando el teorema 4.5 tenemos

luego

Ejemplo 4.10

Calcular , sabiendo que

Solución

Para aplicar el teorema 4.5 definimos

entonces

Por lo tanto,

Ejercicios

Ejercicio 4.1

Hallar la diferencial total en:

Ejercicio 4.2

a) Evaluar f(1,2) y f(1.05,2.1) y calcular

b) Utilizar la diferencial total dz para aproximar

Ejercicio 4.3

Probar que la función dada es diferenciable, encontrando valores para y verificar que ambos cuando

Ejercicio 4.4

El radio r y la altura h de una cilindro circular recto se miden con un posible error de 4 por 100 y del 2 por 100, respectivamente. Estimar el máximo porcentaje posible de error que eso implica para la medida del volumen.

Ejercicio 4.5

Encontrar dw/dt usando la regla de la cadena en:

Ejercicio 4.6

Encontrar usando la regla de la cadena apropiada, y evaluar cada derivada parcial en los valores de s y t que se indican:

Ejercicio 4.7

Encontrar por derivación implícita las primeras derivadas parciales de z en:

Evaluación

1) Las dimensiones de una caja rectangular están creciendo a los ritmos siguientes: la longitud 3 metros por minuto, el ancho 2 metros por minuto y la altura 1/2 metro por minuto. Encontrar las razones de cambio del volumen y del área de la superficie de esa caja cuando la longitud, el ancho y la altura son, respectivamente, 10, 6 y 4 metros.

2) El radio de un cilindro circular recto está creciendo a razón de 6 cm por minuto, mientras su altura decrece a razón de 4 cm por minuto. ¿Cuál es la razón de cambio del volumen y del área cuando el radio es 12 cm y la altura 36 cm?

3) Rehacer el problema 2) para un cono circular recto.

4) Los dos radios de un tronco de cono circular recto están creciendo a razón de 4 cm/min y su altura decrece a razón de 12 cm/min. Calcular la razón de cambio del volumen y del área de la superficie cuando los radios son 15 cm y 25 cm, y la altura 10 cm.

5) Consideremos la función w=f(x,y), donde

Probar que:

6) Comprobar el resultado del problema 5)b) para la función

7) Probar que

es solución de la ecuación de ondas unidimensional