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CAPITULO III

Derivadas parciales

Leonhard Euler

En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo será afectada la función por una variación de una de las variables independientes?. Podemos responder esta interrogante considerando cada vez una variable independiente. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico llevaría a cabo el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como la temperatura y la presión. Seguimos un procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada vez con respecto a una variable independiente, manteniendo constantes las demás. Este proceso se conoce como derivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.

Jean Le Rond d´Alembert

La introducción de las derivadas parciales tardó varios años en seguir a los trabajos de Newton y Leibniz. Entre 1730 y 1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond d´Alembert (1717-1783) publicaron separadamente varios artículos de dinámica, en los cuales establecieron gran parte de la teoría de las derivadas parciales. Estos artículos usaban funciones de dos o más variables para estudiar problemas que trataban del equilibrio, el movimiento de fluídos y las cuerdas vibrantes.

Derivadas parciales

Definición 3.1

Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funciones fx y fy respectivamente, definidas mediante

siempre y cuando existan los límites.

Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular fx consideramos que y es constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para obtener fy consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y.

Ejemplo 3.1

Calcular fx y fy para la función

Solución

Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta

Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta

Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A continuación damos una lista de las más comunes:

Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras fx y fy se denotan

Ejemplo 3.2

Para la función encontrar fx y fy y evaluar cada una de ellas en el punto (1, ln2)

Solución

Como la derivada parcial de f con respecto a x en (1, ln2) es

Como la derivada parcial de f con respecto a y en (1, ln2) es

Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f(x,y), tienen una interpretación geométrica útil. Si y=c, entonces z=f(x,c) representa la curva formada por la intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=c, como muestra la figura 3.1. Por lo tanto,

figura 3.1

representa la pendiente de esta curva en el plano y=c (observar que tanto la curva como la tangente pertenecen al plano y=c).

De forma similar,

representa la pendiente de la curva obtenida por la intersección de z=f(x,y) y el plano x=c como se observa en la figura 3.2.

figura 3.2

Se dice que los valores de fx y fy en el punto (x0,y0,z0) denotan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y respectivamente.

Ejemplo 3.3

Encontrar la pendiente de la superficie dada por en el punto (1/2,1,2) en las direcciones x e y.

Solución

En la dirección x, la pendiente viene dada por

(ver figura 3.3)

En la dirección y, la pendiente viene dada por

(ver figura 3.4)

Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las derivadas parciales pueden interpretarse como razones de cambio.

figura 3.3

figura 3.4

Derivadas parciales de orden superior

Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).

1. Derivar dos veces respecto de x:

2. Derivar dos veces respecto de y:

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial

Orden de derecha a izquierda

indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial

(fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha

indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas notaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f.

Ejemplo 3.4

Encontrar las derivadas parciales segundas de y calcular el valor de fxy(-1,2)

Solución

Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:

Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta

Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28

Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Esto sucede frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.

Teorema 3.1

Si f es una función de x e y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en la región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,

Ejemplo 3.5

Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la función

Solución

Las parciales primeras son,

Y las parciales cruzadas son,

 

Ejercicios

Ejercicio 3.1

Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y

Ejercicio 3.2

Evaluar fx y fy en el punto que se indica

  1. , (2,-2)
  2. , (1,0)
  3. , (2,-2)
  4. , (1,0)

Ejercicio 3.3

Encontrar las segundas derivadas parciales f xx, fyy, f xy y fyx

Ejercicio 3.4

Demostrar que fxy=fyx

Ejercicio 3.5

Verificar que la función satisface la ecuación de Laplace

Ejercicio 3.6

Utilizar la definición mediante límites de las derivadas parciales para encontrar fx(x,y) y fy(x,y)

Ejercicio 3.7

Dibujar la curva de intersección de la superficie y del plano dados. Encontrar la pendiente de la curva en el punto que se especifica

superficie

plano

punto

x=2

(2,3,6)

y=1

(2,1,8)

y=3

(1,3,)

x=1

(1,3,0)

Evaluación

1) Se N el número de candidatos a una universidad, p es el costo de alimentación y alojamiento y t el precio de la matrícula. Supongamos que N es una función de p y de t talque Np<0 y Nt<0. ¿Cómo interpretaría el hecho de que ambas derivadas parciales fueran negativas?

2) El alcance de un proyectil disparado con un ángulo de elevación sobre la horizontal y con velocidad

Evaluar cuando v0=2000 m/s y =5º

3) La temperatura en todo punto (x,y) de una placa metálica viene dada por

donde x e y se miden en metros. En el punto (2,3), encontrar la razón de cambio de la temperatura respecto de la distancia al movernos sobre la placa en las direcciones de los ejes x e y.

4) Según la ley de los gases ideales, PV=kT, donde P es la presión, V el volumen, T la temperatura y k una constante de proporcionalidad. Hallar

5) Consideremos la función definida por

a) Encontrar fx(x,y) y fy(x,y) para (x,y) distinto de (0,0)

b) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar fx(0,0) y fy(0,0)

c) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar fxy(0,0) y fyx(0,0)