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CAPITULO II

Capitulo 2

Límites y Continuidad

Karl Weierstrass

Karl Weierstrass

En este capítulo discutiremos las nociones de límite y continuidad para funciones de dos variables. Pero antes necesitamos definir algunos términos preliminares. Mucha de esta terminología fue introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de "padre del análisis moderno". Weierstrass fue un buen maestro. Uno de sus estudiantes más conocidos fue la matemática rusa Sonya Kovalevsky (1850-1891). Kovalevsky aplicó muchas de las técnicas de Weierstrass a problemas de la física matemática, y se convirtió en una de las primeras mujeres en ganar reputación por sus investigaciones matemáticas.

Entornos en el plano

Comenzamos nuestro estudio del límite de una función de dos variables definiendo el análogo bidimensional de un intervalo en la recta real. Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos (x,y) y (x0,y0) del plano, definimos el -entorno alrededor de (x,y) como el disco centrado en (x0,y0) con radio :

como se indica en la figura 2.1. Cuando la fórmula contiene la desigualdad menor, <, se dice que el disco es abierto, y cuando contiene la desigualdad menor que o la igualdad, , se dice que el disco es cerrado. Esto corresponde al uso de < y para definir intervalos abiertos y cerrados.

Disco abierto

Punto frontera e interior de una región R

Un punto (x0,y0) de la región plana R es un punto interior de R si existe un -entorno alrededor de (x0,y0) que pertenezca totalmente a R, como se muestra en la figura 2.2. Si todos los puntos de R son puntos interiores, entonces decimos que R es una región abierta. Un punto (x0,y0) es un punto frontera de R si cada disco abierto centrado en (x0,y0) contiene puntos del interior de R y puntos del exterior de R. Por definición, una región debe contener sus puntos interiores, pero no tiene por que contener sus puntos frontera. Si una región contiene todos sus puntos frontera, entonces decimos que la región es cerrada. Una región que contiene a algunos pero no a todos sus puntos frontera no es ni abierta ni cerrada.

Limites

Definición 2.1

Sea f una función de dos variables definida, con la posible excepción de (x0,y0), en un disco abierto centrado en (x0,y0), y sea L un número real. Entonces

si para cada >0 existe un >0 tal que siempre que

Si bien la definición de límite de una función de dos variables va en total paralelismo con la definición de límite de una función de una sola variable, existe una diferencia crítica. Para determinar si una función de una variable tiene límite, solamente necesitamos comprobar qué ocurre al aproximarnos por dos direcciones, por la izquierda y por la derecha. Si la función tiende al mismo límite por la derecha e izquierda, podemos concluir que el límite existe. Sin embargo, para una función de dos variables, al escribir

entendemos que el punto (x,y) se aproxima al punto (x0,y0) en cualquier "dirección". Si el valor

no es el mismo para todas las posibles formas de aproximarse, o trayectorias, a (x0,y0), entonces el límite no existe.

Ejemplo 2.1

Demostrar que

Solución

Sean f(x,y)=x y L=a. Necesitamos probar que, para cada e>0 existe un d -entorno alrededor de (a,b) tal que

siempre que (x,y) sea distinto de (a,b) y esté en el entorno. Primero, observamos que de

se sigue que

Por lo tanto, podemos elegir =, y se verifica el límite.

Los límites de funciones de dos variables tienen las mismas propiedades con respecto a las sumas, diferencias, productos y cocientes, que las disfrutadas por las funciones de una sola variable. Empleamos estas propiedades en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.2

Calcular los límites siguientes:

a)

b)

Solución

a) Usando las propiedades de los límites de productos y sumas, tenemos

y

Como el límite de un cuociente es igual al cuociente de los límites, resulta

b) En este caso el límite del denominador es cero y, por lo tanto, no podemos afirmar la existencia (o no existencia) de un límite, tomando los límites del numerador y del denominador separadamente y dividiendo.

Sin embargo, por la gráfica de f en la figura 2.1, parece razonable que el límite debe ser cero. Por consiguiente,

figura 2.1

probemos la Definición 2.1 con L=0. En primer lugar, observemos que

Entonces, en un -entorno alrededor de (0,0), tenemos que , y se sigue que, para (x,y) distinto de (0,0),

Por lo tanto, elegimos =/5 y se concluimos que

El siguiente ejemplo describe un límite que no existe debido a que la función tiende hacia distintos valores a lo largo de caminos diferentes.

Ejemplo 2.3

Probar que el siguiente límite no existe

Solución

El dominio de la función lo constituyen todos lo puntos del plano xy excepto el punto (0,0). Para demostrar que no existe este límite, consideramos dos caminos distintos para ir hacia (0,0), como muestra la figura 2.2. A lo largo del eje x todo punto es de la forma (x,0), y el proceso de límite por ese camino da

figura 2.2

Sin embargo, si (x,y) tiende a (0,0) a lo largo de la recta y=x obtenemos

Esto significa que en cualquier disco centrado en (0,0) hay puntos (x,y) en los que f toma el valor 1 y otros en los que toma el valor 0. Por ejemplo, f(x,y)=1 en los puntos

(1,0), (0.1,0), (0.01,0) y (0.001,0)

y f toma el valor cero en

(1,1), (0.1,0.1), (0.01,0.01) y (0.001,0.001)

Por lo tanto el límite no existe. Ya que hemos dado dos caminos que llevan a límites distintos. Hay que hacer notar que si estos dos límites coincidiesen, eso no sería suficiente para concluir que el límite existe. Para llegar a esa conclusión sería preciso probar que el límite es el mismo sea cual sea el camino por el que nos acercamos al punto.

Continuidad

Definición 2.2

Una función f de dos variables es continua en un punto (x0,y0) de una región abierta R si f(x0,y0) está bien definido y es igual al límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (x0,y0). Es decir,

La función f es continua en la región abierta R si es continua en todos los punto de ella.

En el Ejemplo 2.2 b), la función no es continua en (0,0). No obstante, como existe el límite en ese punto se puede evitar la discontinuidad definiendo f en (0,0) como el número que indique ese límite. Este tipo de discontinuidades se denominan evitables. En el Ejemplo 2.3, la función también es discontinua en (0,0), pero su discontinuidad no es evitable.

Teorema 2.1

Si k es un número real y f, g son continuas en (x0,y0), entonces las siguientes funciones son continuas en (x0,y0):

  1. Múltiplo escalar: kf
  2. Suma y Diferencia: f+g, f-g
  3. Producto: fg
  4. Cociente: f/g si g(x0,y0) distinto de cero

El Teorema 2.1 asegura la continuidad de todas las funciones polinómicas y racionales en cualquier punto de sus dominios. Además la continuidad de muchas funciones es fácil de extender de una a dos variables, como se verá en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.4

Las funciones

son ambas continuas en todo punto del plano xy, como se muestra en las figuras 2.3 y 2.4.

figura 2.3

figura 2.4

Teorema 2.2

Si h es continua en (x0,y0) y g es continua en h(x0,y0), entonces la función compuesta dada por (gof)(x,y)=g(f(x,y)) es continua en (x0,y0). Es decir,

Observar en el Teorema 2.2 que h es una función de dos variables y g es una función de una sola variable.

Ejemplo 2.4

Discutir la continuidad de las siguientes funciones:

a)

b)

Solución

a) Puesto que una función racional es continua en cada uno de los puntos de su dominio, concluimos que f es continua en cada punto del plano xy excepto en (0,0), como se ve en la figura 2.5.

b) Esta función es continua excepto en los puntos en que el denominador es cero, . Por lo tanto concluimos que la función es continua en todos los puntos excepto aquellos pertenecientes a la parábola . En el interior de la parábola tebemos que , y la superficie representada está sobre el plano xy, como se muestra en la figura 2.6. Fuera de la parábola, , y la superficie está por debajo del plano xy.

figura 2.5

figura 2.6

Gráficas con WinPlot

1) Discutir la continuidad de la función y evaluar el límite de f(x,y) (si existe) cuando (x,y) se aproxima a (0,0).

1)

2)

3)

4)

2) Discutir la continuidad de la función y evaluar el límite a lo largo de los caminos que se especifican. ¿Existe el límite?. Justificar la respuesta.

1)

Caminos: y=0 e y=x

2)

Caminos: y=0 e y=x

3)

Caminos:

4)

Caminos: y=0 e y=x

Ejercicios

Ejercicio 2.1

Utilizar el WinPLot para representar gráficamente la función y calcular (si existe) el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (0,0)

Ejercicio 2.2

Utilizar coordenadas polares para calcular el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (0,0)

Ejercicio 2.3

Discutir la continuidad de la función compuesta f o g

Ejercicio 2.4

Calcular los límites

a)

b)

para las siguientes funciones

Evaluación

1. Calcular el límite (si existe) de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (0,0) a lo largo del camino especificado

a) , Caminos y=x e

b) , Caminos y=0 e y=x

2) Demostrar que

donde f(x,y) tiende a c y g(x,y) tiende a d cuando (x,y) se aproxima a (a,b).

3) Examinando los límites de f cuando (x,y) se aproxima a (0,0) a lo largo de la parábola para ciertos valores de k, demostrar que la función no tiene límite cuando (x,y) tiende a (0,0).

4) Considerando diferentes líneas de aproximación, probar que las siguientes funciones no tienen límite cuando (x,y) se aproxima a (0,0).

a)

b)

c)

d)